В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.
Определение и функция гиперболы
Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:
Здесь:
- x – независимая переменная;
- k ≠ 0;
- при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
- при k < 0 график находится во II и IV четвертях.
На рисунке ниже изображен пример гиперболы.
- Линии графика (зеленым цветом) называются его ветвями.
- Оси абсцисс и ординат (Ox и Oy) являются асимптотами гиперболы, т.е. ветви бесконечно к ним приближаются, но никогда их не коснутся и не пересекут.
- Ось симметрии (синим цветом) – это прямая:
- y = x (при k > 0)
- y = -x (при k < 0)
Смещение асимптот
Допустим у нас есть функция, заданная формулой:
В этом случае:
- x = a – это вертикальная асимптота графика
(при a ≠ 0) вместо оси Oy; - y = b – горизонтальная асимптота
(при b ≠ 0) вместо оси Ox.
Канонический вид уравнения гиперболы (координатные оси совпадают с осями графика):
Алгоритм построения гиперболы
Пример 1
Дана функция y = 4/x. Построим ее график.
Решение
Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.
Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.
| x | y | Расчет y |
| 0,5 | 8 | 4 / 0,5 = 8 |
| 1 | 4 | 4 / 1 = 4 |
| 2 | 2 | 4 / 2 = 2 |
| 4 | 1 | 4 / 4 = 1 |
| 8 | 0,5 | 4 / 8 = 0,5 |
Теперь отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, которая будет стремиться к осям координат. В итоге получится ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти.
Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.
| x | y | Расчет y |
| -0,5 | -8 | 4 / -0,5 = -8 |
| -1 | -4 | 4 / -1 = -4 |
| -2 | -2 | 4 / -2 = -4 |
| -4 | -1 | 4 / -4 = -1 |
| -8 | -0,5 | 4 / -8 = -0,5 |
Соединив полученные точки получаем следующий результат. На этом построение гиперболы завершено.
Пример 2
Рассмотренный выше пример был одним из самых простых (без смещения асимптот). Давайте усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже:
Решение
Так как k < 0, график будет располагаться во второй и четвертой четвертях.
Теперь определяемся с асимптотами, в нашем случае это
Составим таблицу соответствия значений x и y.
| -1 | 4,5 | 3,5 | 0 |
| 1 | 5 | 4 | 2 |
| 2 | 6 | 5 | 3 |
| 2,5 | 8 | 7 | 3.5 |
Остается только нанести рассчитанные точки на координатную плоскость и соединить их плавными линиями.
