В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.
Определение средней линии треугольника
Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
- KL – средняя линия треугольника ABC
- K – середина стороны AB: AK = KB
- L – середина стороны BC: BL = LC
Свойства средней линии треугольника
Свойство 1
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.
На рисунке выше:
- KL параллельна AC
- KL = 1/2 ⋅ AC
Свойство 2
Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.
На рисунке выше:
- △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
- Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL. - S△ABC = 4 ⋅ S△KBL
Свойство 3
В любом треугольнике можно провести три средние линии.
KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.
- KL || AC, KL = 1/2 ⋅ AC
- KM || BC, KM = 1/2 ⋅ BC
- ML || AB, ML = 1/2 ⋅ AB
Свойство 4
Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.
S1 = S2 = S3 = S4
Признак средней линии треугольника
Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.
Пример задачи
Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.
Решение
Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.
Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100.
BC = 10.
Таким образом, средняя линия LM = 1/2 ⋅ BC = 1/2 ⋅ 10 = 5.
Почему если стороны 6 и 8, то треугольник прямоугольный?
Здравствуйте. В данном случае, чтобы утверждать, что треугольник прямоугольный, нужно знать все его стороны. Если третья сторона фигуры равна 10, значит для нее справедлива теорема Пифагора, следовательно, один из углов треугольника прямой.