Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему плюс постоянное слагаемое.
Общий вид арифметической прогрессии
a1, a1 + d, a1 + 2d, … a1 + (n – 1) d, …
d – шаг или разность прогрессии; это и есть постоянное слагаемое.
Члены прогрессии:
- a1
- a2 = a1 + d
- a3 = a2 + d = a1 + 2d
- и т.д.
Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.
Свойства и формулы арифметической прогрессии
1. Нахождение общего n-ого члена (an)
- an = an-1 + d
- an = a1 + (n – 1) d
- an = am – (m – n) d
2. Разность прогрессии
d = an – an-1
Также для нахождения шага используется такая формула:
3. Характеристическое свойство
Последовательность чисел a1, a2, a3 … является арифметической прогрессией, если для любого ее члена выполняется следующее условие:
4. Сумма первых членов прогрессии
Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии, необходимо воспользоваться формулой:
- n – количество суммируемых членов.
Если an заменить на a1 + (n – 1) d, то получится:
5. Сумма членов прогрессии с n-ого по m-ный
- (m – n + 1) – количество суммируемых членов.
Если am заменить на an + (m – n) d, то получим:
6. Сходимость прогрессии
Арифметическая прогрессия сходится при d = 0, во всех остальных случаях она расходится.
При этом, если:
- d > 0, прогрессия называется возрастающей;
- d < 0 – убывающей;
- d = 0 – стационарной.
