В данной публикации мы рассмотрим теорему о базисном миноре (формулировка и следствия). Также разберем пример задачи для демонстрации ее применения на практике.
Формулировка теоремы
В произвольной матрице A столбцы/строки, входящие в состав базисного минора M (называются “базисными”), линейно независимы. Каждый столбец/строка матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов/строк.
Допустим, дана матрица A размером mxn. Базисным называется ненулевой минор M порядка r, при этом все миноры более старшего порядка (r+1 и выше) равняются нулю или их вовсе нет. Это значит, что r равняется меньшему из чисел m или n.
Из теорему о базисном миноре следует:
- Линейно независимые столбцы/строки матрицы, число которых равно рангу данной матрицы, являются базисными.
- Ранг любой матрицы равняется максимальному количеству содержащихся в ней линейно независимых строк/столбцов.
Пример задачи
Давайте найдем всем базисные миноры матрицы A, представленной ниже, а также определим ее ранг.
Решение:
1. Выполним элементарные преобразования над матрицей, чтобы упростить ее. Для начала разделим третью строку на 2 и переставим ее с первой местами.
2. Отнимем из третьей строки первую.
3. Получаем матрицу с нулевой строкой, что означает, что все миноры третьего порядка равняются нулю.
4. Таким образом, базисными в нашем случае могут быть только ненулевые миноры второго порядка, состоящие из первой и второй строк полученной матрицы.
Ответ:
Все рассчитанные миноры отличны от нуля, значит, все они являются базисными. Ранг матрицы равен двум
