Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равностороннего треугольника, а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равносторонним называется треугольник, в котором равны как все стороны, так и все углы.

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая биссектриса равностороннего треугольника одновременно является и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром.

BD – биссектриса угла ABC, которая также является:

• высотой, опущенной на сторону AC;
• медианой, делящей сторону AC на два равных отрезка (AD = DC);
• серединным перпендикуляром, проведенным к AC.

Свойство 2

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

AF = BD = CE

Свойство 3

Биссектрисы равностороннего треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

• AG = 2GF
• BG = 2GD
• CG = 2GE

Свойство 4

Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника является центром описанной и вписанной окружностей.

• r – радиус вписанной окружности;
• R – радиус описанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 5

Биссектриса равностороннего треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) прямоугольных треугольника.

S₁ = S₂

Примечание: Три биссектрисы равностороннего треугольника делят его на 6 равновеликих прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Любая из внешних биссектрис угла равностороннего треугольника параллельна стороне, лежащей напротив данного угла.

• AD и AE – внешние биссектрисы, параллельные BC;
• BK и BL – внешние биссектрисы, параллельные AC;
• CM и CN – внешние биссектрисы, параллельные AB.

Свойство 7

Длину биссектрисы (l_a) равностороннего треугольника можно выразить через его сторону.

где a – сторона треугольника.

Пример задачи

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 4 см. Найдите длину его стороны.

Решение

Согласно Свойствам 3 и 4, рассмотренным выше, радиус вписанной окружности составляет 1/3 часть от биссектрисы равностороннего треугольника. Следовательно, вся ее длина равняется 12 см (4 см ⋅ 3).

Теперь мы можем найти сторону треугольника с помощью формулы ниже (получена из Свойства 7):