Что такое квадрат: определение и свойства

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – квадрата.

Определение квадрата

Квадрат – это правильная геометрическая фигура на плоскости, у которой четыре равные стороны и прямые углы (т.е. 90°). Чаще всего квадрат обозначается названиями вершин (например, ABCD), а его сторона – маленькой латинской буквой (например, a).

• AB = BC = CD = AD = a
• ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD = 90°

Свойства квадрата

Свойство 1

Диагонали квадрата равны, расположены под прямым углом друг к другу, в точке пересечения делятся пополам.

• AC = BD = d (диагонали)
• AE = EC = BE = ED
• ∠AEB = ∠AED = ∠BEC = ∠CED = 90°

Свойство 2

Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. Для рисунке выше:

• BD – биссектриса углов ABC и ADC, следовательно, ∠ABD = ∠DBC = ∠ADB = ∠BDC
• AC – биссектриса углов BAD и BCD, следовательно, ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA = ∠ACD

Свойство 3

Центром описанной вокруг и вписанной в квадрат окружностей является точка пересечения его диагоналей (в нашем случае – E).

При этом радиусы окружностей можно вычислить через длину стороны или диагонали квадрата:

Здесь:

• R – радиус описанной окружности;
• r – радиус вписанной окружности;
• a – длина стороны квадрата;
• d – длина диагонали квадрата.

Также, один радиус можно выразить через другой:

Свойство 4

Зная длину стороны или диагонали квадрата, можно найти его площадь или периметр.

Периметр (P) квадрата через сторону:

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a

Периметр (P) квадрата через диагональ:

Площадь (S) квадрата через сторону:

P = a ⋅ a = a²

Площадь (S) квадрата через диагональ: