Что такое комплексные числа

В данной публикации мы рассмотрим определение комплексного числа, его алгебраическую форму и геометрическую интерпретацию, а также свойства арифметических действий, выполняемых с такими числами.

Определение комплексного числа

Комплексным называется число вида z = a + bi, где:

• a и b – это вещественные числа;
• i – мнимая единица, для которой справедливо равенство: i² = -1;
• a – действительная часть;
• bi – мнимая часть.

Примечание: a + bi – это алгебраическая форма комплексного числа, которое нужно воспринимать как единое целое, а не как сложение.

Для обозначения множества комплексных чисел используется символ, похожий на букву C.

Если b = 0, то комплексное число принимает вид: z = a + 0 ⋅ i = a. Таким образом, вещественное (действительное) число – это частный случай комплексного.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексные числа можно перенести на координатную (комплексную) плоскость, осью абсцисс которой будут являться действительная часть (Re), а осью ординат – мнимая (Im).

В качестве примера ниже показаны следующие комплексные числа, которые можно интерпретировать как векторы:

• z = 1 + 4i
• z = 2 – i
• z = -3 – 2i
• z = -3 + 2i
• z = 3
• z = -2i

• z = 3 является комплексным числом с нулевой мнимой частью, т.е. по сути это действительное число.
• z = -2i – исключительно мнимое число с нулевой действительной частью.

Арифметические действия с комплексными числами

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел выполняется по тем же законам, которые применимы к обычным числам.

Например,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Пример 1: сложим два комплексных числа: x = 2 + 4i и y = 1 – 3i.

Решение:
x + y = (2 + 4i) + (1 – 3i) = (2 + 1) + (4 – 3)i = 3 + i.

Пример 2: вычтем из комплексного числа x = 6 – 2i число y = 3 + 5i.

Решение:
x – y = (6 – 2i) – (3 + 5i) = 6 – 2i – 3 – 5i = 3 – 7i.

Ниже представлены свойства действий с комплексными числами.

Сложение и вычитание

Умножение

Деление

У каждого комплексного числа a + bi, за искл. нуля, есть обратное к нему число, которое имеет вид:

Деление ненулевых комплексных чисел: