В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, позволяющую разложить куб суммы на множители, а также, подробно разберем пример решения задачи.
Формула куба суммы
Куб суммы слагаемых a и b равняется кубу a плюс утроенное произведение квадрата a на b плюс утроенное произведение квадрата b на a плюс куб b.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Формула равносильна и в обратном порядке:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Доказательство формулы
Куб числа/выражения – это его возведение в третью степень. Давайте представим наше выражение в виде куба:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b).
Перемножаем скобки с учетом арифметических правил:
(a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата суммы:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Пример
Чему равен куб суммы (5x + 7y)3?
Решение
Используем формулу сокращенного умножения:
(5x + 7y)3 = (5x)3 + 3 ⋅ (5x)2 ⋅ 7y + 3 ⋅ 5x ⋅ (7y)2 + (7y)3 = 125x3 + 525x2y + 735xy2 + 343y3
Проверка
Выполним перемножение трех одинаковых скобок:
(5x + 7y)3 = (5x + 7y)(5x + 7y)(5x + 7y) = (5x + 7y)(5x + 7y)2 = (5x + 7y)(25x2 + 70xy + 49y2) = 125x3 + 350x2y + 245xy2 + 175x2y + 490xy2 + 343y3 = 125x3 + 525x2y + 735xy2 + 343y3
