В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – квадрат разности. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
Формула квадрата разности
Квадрат разности a и b равняется квадрату уменьшаемого (a) минус удвоенное произведение уменьшаемого и вычитаемого (a и b) плюс квадрат вычитаемого (b).
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Данное выражение равносильно и в обратную сторону:
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Доказательство формулы
Так как возведение в квадрат – это умножение числа/выражения на само себя, давайте представим нашу формулу в виде перемножения двух одинаковых скобок:
(a-b)(a-b).
Остается согласно арифметическим правилам убрать скобки, тем самым, разложив произведение на множители:
(a-b)(a-b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2.
Примеры задач
Задание
Разложите на множители квадрат разности: (4x – 2y4)2.
Решение
Применив формулу сокращенного умножения получаем:
(4x – 2y4)2 = (4x)2 – 2 ⋅ 4x ⋅ 2y4 + (2y4)2 = 16x2 – 16xy4 + 4y8
Примечание:
Знание формулы, также, позволяет производить быстрые вычисления в уме:
- 772 = (80 – 3)2 = 802 – 2 ⋅ 80 ⋅ 3 + 32 = 6400 – 480 + 9 = 5929.
- 482 = (50 – 2)2 = 502 – 2 ⋅ 50 ⋅ 2 + 22 = 2500 – 200 + 4 = 2304.
