В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, квадрат суммы. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
Формула квадрата суммы
Квадрат суммы слагаемых a и b равняется квадрату a плюс удвоенное произведение a и b плюс квадрат b.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Выражение может быть представлено и в обратном порядке:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Доказательство формулы
Арифметическое
Представим формулу в виде произведения двух одинаковых скобок (другими словами, умножим выражение на само себя):
(a+b)(a+b).
Теперь раскроем скобки согласно арифметическим правилам и получаем:
(a+b)(a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.
Геометрическое
Для того, чтобы доказать формулу геометрически, изобразим квадрат, который поделен с помощью двух отрезков на четыре части таким образом, что получились:
- два квадрата с разной длиной стороны (a или b);
- 2 прямоугольника с одинаковой длиной (a) и шириной (b).
Площадь большого квадрата равна (a + b)2 и, одновременно, сумме площадей фигур, из которых состоит:
Sкв. = (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Примеры задач
Задание
Чему равен квадрат суммы (2x + 4y3)2?
Решение
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(2x + 4y3)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 4y3 + (4y3)2 = 4x2 + 16xy3 + 16y6
Примечание:
Формулу можно использовать для быстрых расчетов в уме, например:
- 632 = (60 + 3)2 = 602 + 2 ⋅ 60 ⋅ 3 + 32 = 3600 + 360 + 9 = 3969.
- 942 = (90 + 4)2 = 902 + 2 ⋅ 90 ⋅ 4 + 42 = 8100 + 720 + 16 = 8836.
