Что такое квадратный трехчлен: определение, формула, график, примеры

В данной публикации мы рассмотрим, что такое квадратный трехчлен, а также приведем его формулу и разберем алгоритм построения графика (параболы). Представленная информация сопровождается практическими примерами для лучшего восприятия.

Определение и формула квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен – это многочлен вида ax² + bx + c, где:

• x – переменная;
• a, b и c – постоянные коэффициенты (старший, средний и свободный, соответственно);
• a ≠ 0.

Примеры:

• x² + 7x + 3
• 2x² – 9x + 6
• -5x² + 11x + 2

График квадратного трехчлена

Функция квадратного трехчлена называется квадратичной, а ее графиком является парабола. Для того, чтобы ее построить, нужно решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, которое получается путем добавления знака “равно” и нуля в конце выражения. Мы подробно рассмотрели нахождение корней уравнения в отдельной публикации.

График имеет вершину:

• максимум при a < 0;
• минимум при a > 0.

Чтобы было понятнее, разберем алгоритм построения параболы на практических примерах.

Пример 1

Построим график квадратного трехчлена x² + 4x + 3.

Решение

Корнями уравнения x² + 4x + 3 = 0 являются -3 и -1. Т.е. y принимает нулевые значения при x, равном двум этим числам. Другими словами, график пересекает ось абсцисс (Ox) в точках (-3, 0) и (-1, 0).

Вершина параболы считается по формуле ^-b/_2a. Так как коэффициент a – положительное число, следовательно, это будет ее минимум.
Мин. = ^-4/_{(2 ⋅ 1)} = -2

Полученное число – это значениеx, теперь подставляем его в нашу формулу и находим y:
y = (-2)² + 4 ⋅ (-2) + 3 = -1

Таким образом, вершина имеет координаты (-2, -1).

Остается только найти, в какой точке график пересекает ось ординат (0y). Для этого в формулу трехчлена вместо x подставляем число 0:
y = (-0)² – 4 ⋅ 0 + 3 = 3

Следовательно, это точка с координатами (0, 3).

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы построить график.

Примечание: Обратите внимание, что парабола – это симметричный график, т.е. если провести вертикальную линию через ее вершину, то правая часть будет зеркальным отражением левой (и наоборот).

Пример 2

Построим параболу трехчлена 3x² – 6x + 3.

Решение

Уравнение 3x² – 6x + 3 = 0 имеет всего один корень (x = 1). Следовательно, график не пересекает, а касается оси абсцисс в точке (1, 0), которая одновременно является минимумом параболы (т.к. коэффициент a – положительный). Проверяем:
Мин. = ⁶/_{(2 ⋅ 3)} = 1 (это значение x)
y = 3 ⋅ (1)² – 6 ⋅ 1 + 3 = 0

Теперь находим, в какой точке график пересекает ось Oy, подставив в формулу вместо x число 0:
y = 3 ⋅ (0)² – 6 ⋅ 0 + 3 = 3

Значит, точка пересечения с осью ординат – (0, 3).

Строим параболу с учетом найденных точек:

Пример 3

А так выглядит график квадратичной функции y = -2x² + 5x -2:

• Точки пересечения с осью Ox: (0.5, 0) и (2, 0).
• Так как a – отрицательное число, то максимум достигается в точке (1.25, 1.125).
• Пересечение с осью Oy – в точке (0, -2).