В данной публикации мы рассмотрим, что такое линейная комбинация строк, линейно зависимые и независимые строки. Также приведем примеры для лучшего понимания теоретического материала.
Определение линейной комбинации строк
Линейной комбинацией (ЛК) строк s1, s2, …, sn матрицы A называется выражение следующего вида:
αs1 + αs2 + … + αsn
Если все коэффициенты αi равны нулю, значит ЛК является тривиальной. Другими словами, тривиальная линейная комбинация равняется нулевой строке.
Например: 0 · s1 + 0 · s2 + 0 · s3
Соответственно, если хотя бы один из коэффициентов αi не равен нулю, то ЛК является нетривиальной.
Например: 0 · s1 + 2 · s2 + 0 · s3
Линейно зависимые и независимые строки
Система строк является линейно зависимой (ЛЗ), если есть их нетривиальная линейная комбинация, которая равна нулевой строке.
Отсюда следует, что нетривиальная ЛК в некоторых случаях может равняться нулевой строке.
Система строк является линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная ЛК равняется нулевой строке.
Примечания:
- В квадратной матрице система строк является ЛЗ только в том случае, если определитель этой матрицы равняется нулю (det = 0).
- В квадратной матрице система строк является ЛНЗ только в том случае, если определитель этой матрицы не равен нулю (det ≠ 0).
Пример задачи
Давайте выясним, является ли система строк
Решение:
1. Для начала составим ЛК.
α1{3 4} + α2{9 12}.
2. Теперь выясним, какие значения должны принимать α1 и α2, чтобы линейная комбинация равнялась нулевой строке.
α1{3 4} + α2{9 12} = {0 0}.
3. Составим систему уравнений:
4. Первой уравнение разделим на три, второе – на четыре:
5. Решением данной системы являются любые α1 и α2, при этом α1 = -3α2.
Например, если α2 = 2, то α1 = -6. Подставляем эти значения в систему уравнений выше и получаем:
Ответ: таким образом, строки s1 и s2 линейно зависимы.
