Решение логарифмических неравенств

Логарифмическое неравенство – это неравенство, в котором неизвестная величина находится под знаком логарифма.

Формулы логарифмических неравенств

1. Значение логарифма больше нуля (log_a x > 0) при условии, что и основание, и подлогарифмическое выражение находятся по одному сторону от числа 1. Здесь могут быть два варианта:

• a>1 и x>1
• 0<a<1 и 0<x<1

Соответственно, если a и x стоят по разные стороны от единицы, значение логарифма log_ax отрицательно.

2. Для логарифмического неравенства log_a f(x) > b справедливо:

• f(x) < a^b при 0<a<1
• f(x) > a^b при a>1

Аналогичным образом, для log_af(x) < b верно:

• f(x) > a^b при 0<a<1
• f(x) < a^b при a>1

3. Неравенство вида log_a f(x) > log_a g(x) сводится к:

• 0 < f(x) < g(x) при 0<a<1
• f(x) > g(x) > 0 при a>1

Подобным образом, для log_a f(x) < log_a g(x) можно утверждать:

• f (x) > g(x) > 0 при 0<a<1
• 0 < f(x) < g(x) при a>1

Примеры заданий

Задача 1
Решите неравенство log_0,7(x-3) > 3.

Решение:
Основание логарифма больше нуля, но меньше единицы (0<0,7<1). Применив соответствующую формулу (f(x) < a^b при 0<a<1), получаем:
(x-3) < 0,7³
(x-3) < 0,343
x<3,343

Одновременно с этим подлогарифмическое выражение любого логарифма должно быть больше нуля. Следовательно, (x-3) > 0, а значит, x>3.

Таким образом, совместив оба условия определяем x∈(3;3,343).

Задача 2
Решите неравенство log₂8 < log₂x.

Решение:
Т.к. основание логарифма больше единицы, для заданного неравенства верно: 0<8<x. То есть x∈(8;∞).