В данной статье мы рассмотрим определение наибольшего общего делителя, научимся его находить для двух или нескольких чисел, а также разберем практические примеры для закрепления изложенного материала.
Определение наибольшего общего делителя
Делитель натурального числа a – это такое натуральное число b, которое делит a нацело (без остатка). Обозначается буквой Д. Например Д(6) означает “делитель числа 6”.
Если у числа больше двух делителей, его называют составным.
Примеры делителей:
- Число 12 имеет следующие делители: 1, 2, 3, 4, 6.
- Число 15 имеет следующие делители: 1, 3, 5.
В отличие от кратных, количество делителей числа ограничено.
Общий делитель двух натуральных чисел – это такое число, на которое оба этих числа делятся без остатка.
Наибольший общий делитель двух натуральных чисел – наибольшее число из общих делителей данных чисел. Обозначается как НОД.
Например, НОД (12, 24) – это наибольший общий делитель чисел 12 и 24.
Нахождение НОД
Чтобы найти наибольший общий делитель, можно применить один из способов ниже.
Для двух (или небольших) чисел
- Записываем в ряд все делители для каждого числа (по возрастанию).
- Находим наибольшее значение, встречающееся в обоих рядах. Это и есть НОД.
Пример
Найдем наибольший делитель чисел 18 и 30.
Решение
Д(18): 1, 2, 3, 6, 9.
Д(30): 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15.
Таким образом, НОД (18, 30) = 6.
Для нескольких (или больших) чисел
Этот метод обычно применяется, если приходится иметь дело с большим числами, или нужно найти НОД для нескольких чисел.
- Для начала раскладываем числа на простые множители – простые числа, которые делят число без остатка.
- Отмечаем одинаковые простые множители, встречающиеся в обоих раскладках.
- Произведение найденных простых множителей и есть НОД.
Пример
Найдем НОД (16, 24, 40).
Решение
Разложим эти числа на простые множители.
Для всех трех чисел одинаковыми являются три множителя – это три двойки.
Следовательно, НОД (16, 24, 40) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.
