Нахождение наименьшего общего кратного

Наименьшее общее кратное используется, например, для приведения обыкновенных дробей к общему знаменателю, что позволит сложить, вычесть или сравнить их.

В данной статье мы разберемся, каким образом выполняется эта операция, а также разберем практические примеры для закрепления изложенного материала.

Определение наименьшего общего кратного

Число b является кратным числа a, если b нацело (без остатка) делится на a. Произносится как “b кратно a“. Обозначается буквой К.

Примеры кратных:

• кратные числа 3 или К(3): 6, 9, 12,15, 18 и т.д.
• кратные числа 7 или К(7): 14, 21, 28, 35, 42 и т.д.

Кратных чисел может быть бесконечное множество.

Общее кратное двух натуральных чисел – такое число, которое нацело делится на оба этих числа.

Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел – наименьшее число из общих кратных этих чисел. Обозначается как НОК.

Например, НОК (5, 9) – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 9.

Нахождение НОК

Чтобы найти наименьшее общее кратное, можно воспользоваться одним из двух способов ниже:

Для двух/небольших чисел

Когда мы имеем дело с двумя числами (или небольшими), процесс нахождения НОК состоит из следующих действий:

1. Записываем в ряд кратные для каждого числа по возрастанию.
2. Находим первое совпадение в полученных рядах чисел. Это и есть НОК.

Пример
Найдем наименьшее общее кратное чисел 6 и 14.

Решение
Кратные числа 6: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 и т.д.
Кратные числа 14: 28, 42, 56 и т.д.

Таким образом, НОК (6, 14) = 42.

Для нескольких/больших чисел

Данный способ подойдет, если мы имеем дело с большим числами, или когда требуется найти НОК для трех и более чисел.

1. Сперва раскладываем числа на простые множители – простые числа, которые делят число нацело (их количество для разных чисел, также, может быть разным). Для удобства начинаем с самого маленького значения и заканчиваем самым большим.
2. Среди множителей мЕньшего числа находим тот, который не вошел в состав бОльшего. То же самое проделываем со следующим по возрастанию числом/числами.
3. Умножаем бОльшее число на найденные дополнительные множители и получаем НОК.

Пример
Давайте найдем НОК (12, 28, 32).

Решение
Разложим данные числа на простые множители.

Среди множителей меньшего числа (12) в состав бОльшего (32) не входит цифра 3, среди множителей среднего числа (28) – цифра 7.

Следовательно, НОК (12, 28, 32) = 32 ⋅ 3 ⋅ 7 = 672.

Иные случаи

1. Если одно из чисел, для которых требуется найти наименьшее общее кратное, нацело делится на другие числа, то это число и есть НОК.

Например: НОК (20, 40, 80) = 80.

2. НОК взаимно простых чисел является произведение данных чисел, т.к. они не имеют общих простых множителей.

Например: НОК (3, 5) = 3 ⋅ 5 = 15.