Что такое область определения функции

В данной публикации мы рассмотрим, что такое область определения функции, как обозначается и задается. Также перечислим эти области для наиболее популярных функций.

Понятие области определения

Область определения – это множество значений x, на котором задана функция, т.е. существует y. Иногда называется областью задания.

• x – независимая переменная (аргумент);
  
• y – зависимая переменная (функция).

Общепринятая запись функции: y = f (x).

Функция – это зависимость между двумя переменными (множествами). При этом каждому x соответствует только одно определенное значение y.

Геометрическая интерпретация области определения функции – это проекция соответствующего ей графика на ось абсцисс (0x).

Множество значений функции – все значения y, принимаемые функцией на ее области определения. С точки зрения геометрии, это проекция графика на ось ординат (0y).

Область определения обозначается как D (f). Вместо f, соответственно, указывается конкретная функция, например: D(x²), D(cos x) и т.д

Затем обычно ставится знак равно и пишутся конкретные значения:

1. Через точку с запятой указываем левую и правую границы промежутка, соответствующего значениям на оси 0x (строго в этом порядке).
2. Если граница входит в область определения, рядом с ней ставим квадратную скобку, в противном случае – круглую.
3. Если нет левой границы, вместо нее указываем “-∞“, правой – “∞“ (читается как “минус/плюс бесконечность”).
4. При необходимости, если требуется объединить несколько диапазонов, делается это с помощью специального знака “∪”.

Например:

• [3; 10] – множество всех значений от трех до десяти включительно;
• [4; 12) – от четырех включительно до двенадцати исключительно;
• (-2; 7] – от минус двух исключительно до плюс семи включительно.
• [-10; -4) ∪ (2; 8) – от минус десяти включительно до минус четырех исключительно и от двух до восьми исключительно.

Примечание:

• Все числа больше нуля записываются так: (0; ∞);
• Все отрицательные: (-∞; 0);
• Все действительные числа: (-∞; ∞) или просто R.

Области определения разных функций

Общий вид	Функция	Область опредения (D)
ax	Линейная	Множество всех действительных чисел (R).
	С дробью	1. Все значения x, при которых знаменатель не равняется нулю. 2. Если неизвестная переменная расположена в числителе, то область определения - R.
	С корнем	Только те значения x, при которых подкоренное выражение больше нуля, т.к. извлекать корень из отрицательного числа нельзя.
	С логарифмом	Чаще всего рассматривается натуральный логарифм, в область определения которого входят только те x, при которых a(x) > 0.
		К условие выше добавляется: a(x) ≠ 0, т.к. ln 1 = 0.
ax	Показательная	Все действительные числа, при этом конкретный диапазон зависит от значения a
xa	Степенная	Также, как у показательной функции.
sin x	Синус	D ∈ R
cos x	Косинус
tg x	Тангенс	Все действительные числа, кроме (π/2 + k · π), где k - натуральное число (Z).
ctg x	Котангенс	Множество действительных чисел, кроме k · π, где k ∈ Z.