В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти определитель (детерминат) матрицы. Теоретический материал сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.
Что такое определитель матрицы
Чаще всего в различных математических задачах требуется найти определитель матрицы второго и третьего порядка, реже – четвертого и т.д. Сразу отметим, что детерминант можно вычислить только для квадратной матрицы.
Обычно определитель обозначается двумя вертикальными черточками. Т.е. если у нас есть матрица A, то определитель может обозначаться как |A|, буквой D, сокращением “det” или символом △.
Важно помнить, что менять числа внутри определителя нельзя.
Нахождение определителя
Результатом нахождение определителя матрицы является обычное число. Давайте рассмотрим самые популярные варианты.
Второй порядок
Пожалуй, это самая легкая задача. Чтобы найти определитель матрицы “два на два” пользуемся формулой ниже:
Пример 1:
Пример 2:
Примечание: Не забываем обращать внимание на знаки элементов матрицы и учитывать их в расчетах.
Третий порядок
Для вычисления определителя матрицы “три на три” следует использовать такую формулу:
Пример:
|A| = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + (-1) ⋅ 6 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 2 ⋅ 9 – (-1) ⋅ 4 ⋅ 9 – 3 ⋅ 2 ⋅ (-6) – 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = 144.
Как мы видим, формула длинная, и запомнить ее достаточно сложно. Но есть специальное правило Саррюса (или метод параллельных полосок), благодаря которому ничего запоминать не нужно. Вот, в чем оно заключается.
С правой стороны от определителя мы дописываем первый и второй столбцы, затем проводим линии, как показано на рисунке ниже.
Множители, расположенные на диагоналях красного цвета в формуле участвуют со знаком “плюс”, синего цвета – со знаком минус.
|A| = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – a3b2c1 – b3c2a1 – c3a2b1
Как мы видим, это те же самые множители, что и в первой формуле, но переставленные местами, что на результат не влияет. Таким образом, используя метод Саррюса, можно значительно снизить риск допущения ошибки в процессе выполнения расчетов.
Произвольный размер матрицы
Разложение определителя по строке или столбцу
Первый вариант: определитель равняется сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.
Второй вариант: определитель равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения.
Примечание: рекомендуется для разложения выбирать ту строку (столбец), в которой больше всего элементов, равных нулю.
Пример: Вычислим определитель матрицы ниже.
Ее определитель выглядит так:
Решим пример с помощью разложения по первому столбцу.
Теперь мы можем рассчитать детерминант:
|A| = 3 ⋅ 1 ⋅ ((-2) ⋅ 9) – 6 ⋅ 4) + 0 ⋅ (-1) ⋅ (5 ⋅ 9 – 6 ⋅ 1) + 2 ⋅ 1 ⋅ (5 ⋅ 4 – (-2) ⋅ 1)
|A| = 3 ⋅ (-42) + 0 + 2 ⋅ 22 = -126 + 44 = -82
Приведение определителя к треугольному виду
Выполнив элементарные преобразования в отношении строк или столбцов, определитель можно привести к треугольному виду, после чего его можно вычислить путем перемножения элементов главной диагонали.
Пример: найдем определитель матрицы ниже.
Представив матрицу в виде определителя вычтем из элементов третьей строки удвоенную первую строку.
Переставим местами второй и третий столбцы, при этом знак определителя поменяется на противоположный.
Мы получили треугольный вид детерминанта, значение которого равняется произведению элементов главной диагонали.
|A| = – (3 ⋅ 3 ⋅ (-1)) = 9
