Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике

В данной публикации мы рассмотрим соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике, выраженные в виде тригонометрических функций острого угла, а также, научимся применять полученные знания на практике для решения задач.

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике

Допустим, у нас есть треугольник (прямоугольный) со сторонами a, b, c и острым углом α.

Для него верно следующее:

1. Синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   sin α = b/c
2. Косинус угла α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   cos α = a/c
3. Тангенс угла α равняется отношению противолежащего катета к прилежащему:
   tg α = b/a
4. Котангенс угла α равняется отношению прилежащего катета к противолежащему:
   ctg α = a/b
5. Секанс угла α определяется как отношение гипотенузы к прилежащему катету:
   sec α = c/a
6. Косеканс угла α определяется как отношение гипотенузы к противолежащему катету:
   cosec α = c/b

Примеры задач

Задание 1
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 3 см, а гипотенуза 5 см. Найдите угол, который расположен напротив заданного катета.

Решение:
Пусть неизвестный угол – это α. Применяем формулу синуса для его нахождения:
sin α = 3 см / 5 см = 0,6. Следовательно, угол α = aarcsin (0,6) ≈ 36,87°.

Задание 2
В прямоугольном один из острых углов равен 45°, а прилежащий к нему катет – 3 см. Найдите гипотенузу.

Решение:
Так как нам известен угол (α) и прилежащий катет (a), выведем длину гипотенузы из формулу косинуса (c): c = a / cos α = 3 см / cos 45° ≈ 4,24 см.