Что такое плоскость: определение, свойства, уравнения

В данной публикации мы рассмотрим определение плоскости, перечислим ее основные свойства, а также приведем различные виды уравнений, с помощью которых она может быть задана.

Определение и свойства плоскости

Плоскость – поверхность, которая полностью содержит каждую прямую, соединяющую любые ее точки.

Свойства плоскости:

• Две плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельная плоскости, либо находится на ней, либо пересекает ее в одной точке.
• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, значит они являются параллельными.
• Параллельные плоскости перпендикулярны одной и той же прямой.

Уравнения плоскости

Общий вид
Плоскость может быть задана уравнением первой степени:

Ax + By + Cz + D = 0

Примечание: A, B и C могут равняться нулю, причем одновременно.

Уравнение в отрезках
Допустим есть плоскость, которая пересекает координатные оси Ox, Oy и Oz в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, c). В этом случае ее уравнение имеет вид:

Плоскость, проходящая через точку, перпендикулярно вектору нормали
Если мы знаем координаты точки плоскости, например, M (x₀, y₀, z₀), а также вектора нормали плоскости, допустим, n = {A; B; C}, то уравнение можно задать формулой:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

Плоскость, проходящая через три точки, не лежащие на одной прямой
Если известны координаты трех точек, принадлежащих одной плоскости, например, A (x₁, y₁, z₁), B (x₂, y₂, z₂) и C (x₃, y₃, z₃), то ее уравнение будет таким: