Умножение комплексных чисел

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти произведение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Умножение в алгебраической форме

Произведением двух комплексных чисел x = a₁ + b₁i и y = a₂ + b₂i также является комплексное число z:

z = x ⋅ y = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂) ⋅ i

Формула получается путем перемножения двучленов (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i). При этом не забываем, что i² = -1.

Пример 1
Найдем произведением комплексных чисел: x = 3 + 7i и y = 2 – i.

Решение:
x ⋅ y = (3 + 7i)(2 – i) = 3 ⋅ 2 – 3 ⋅ i + 7i ⋅ 2 – 7i ⋅ i = 6 – 3i + 14i – 7i² = 6 + 11i – 7 ⋅ (-1) = 13 + 11i.

Произведение в тригонометрической форме

Комплексные числа могут быть заданы в тригонометрической форме, например x = |x| ⋅ (cos φ₁ + i ⋅ sin φ₁) и y = |y| ⋅ (cos φ₂ + i ⋅ sin φ₂).

В этом случае формула произведения выглядит следующим образом:

x ⋅ y = |x| ⋅ |y| ⋅ [cos(φ₁ + φ₂) + i ⋅ sin(φ₁ + φ₂)]

Пример 2
Выполним умножение двух комплексных чисел: x = 2 ⋅ (cos 15° + i ⋅ sin 15°) и y = 5 ⋅ (cos 30° + i ⋅ sin 30°).

Решение:
|x| ⋅ |y| = 2 ⋅ 5 = 10
φ₁ + φ₂ = 15° + 30° = 45°
x ⋅ y = 10 ⋅ (cos 45° + i ⋅ sin 45°)