В данной публикации мы рассмотрим, каким образом матрицу можно умножить на определенное число. Также мы приведем практические примеры и перечислим основные свойства рассматриваемого произведения.
Правило умножения матрицы на число
Результатом умножения матрицы (A) на любое число (m), не равное нулю, является матрица того же порядка (размера), элементы которой равны произведению соответствующих элементов исходной матрицы на данное число.
B = m ⋅ A
В общем виде это выглядит примерно так:
Согласно законам умножениям, порядок сомножителей неважен, т.е.:
m ⋅ A = A ⋅ m = B
Следствие: если у всех элементов матрицы есть общий множитель, его можно вынести за пределы матрицы.
Свойства произведения матрицы и числа
1. Если матрицу умножить на единицу (или наоборот), в результате получится та же самая матрица.
1 ⋅ A = A ⋅ 1 = A
2. Результатом произведения матрицы на ноль является Θ, где Θ – нулевая матрица (все ее элементы равны нулю).
0 ⋅ A = A ⋅ 0 = Θ
3. Умножение числа на сумму матриц – это то же самое, что и сумма произведений данного числа с каждой матрицей по отдельности.
m ⋅ (A + B) = mA + mB
4. Произведение суммы чисел и матрицы – это то же самое, что и сумма произведений каждого числа и матрицы.
(m + n ) ⋅ A = mA + nA
5. Сочетательный закон при умножении применим и к матрицам:
(m ⋅ n ) ⋅ A = m ⋅ (n ⋅ A)
Примеры задач
Пример 1
Определите, чему равняется 4A, если исходная матрица A выглядит так:
Решение:
Пример 2
Выясните, есть ли у матрицы ниже общий множитель, и, если да, вынесите его за ее пределы.
Решение:
Наименьшим общим делителем всех элементом заданной матрицы является число 2, следовательно, его можно вынести за скобки.
