В данной публикации мы рассмотрим, чему равна производная степенной функций (в т.ч. сложной), а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
Формула производной степенной функции
Для функции f(x) = x n, где n – действительное число, справедливо следующее выражение:
f ‘(x) = (x n)‘ = nx n-1
Т.е. производная степенной функции равняется произведению показателя степени на основание в степени, уменьшенной на единицу.
n – может быть как положительным, так и отрицательным числом (в т.ч. дробным):
Производная сложной степенной функции
В сложной функции вместо x представлено более сложное выражение. Производная такой функции определяется по формуле:
(y n)‘ = ny n-1 ⋅ y ‘
Примеры задач
Задание 1:
Вычислите производную функцию f(x) = x3/5.
Решение:
Согласно правилам дифференцирования константу в виде дроби можно вынести за знак производной:
Применив формулу производной, рассмотренную выше, получаем:
Задание 2:
Найдите производную функции f(x) = x2 + √x – 6.
Решение:
Первоначальный вид производной функции:
f ‘(x) = (x2 + √x – 6)‘.
С учетом правила дифференцирования суммы получаем:
f ‘(x) = (x2)‘ + (√x)‘ – (6)‘.
Остается только вычислить производные по отдельности:
(x2)‘ = 2x2-1 = 2x
(-6)‘ = 0 (производная константы равна нулю)
Таким образом получаем:
