В данной публикации мы рассмотрим определение ранга матрицы, а также методы, с помощью которых его можно найти. Также разберем примеры для демонстрации применения теории на практике.
Определение ранга матрицы
Ранг матрицы – ранг ее системы строк или столбцов. В любой матрице есть ее строчный и столбцовый ранги, которые равны между собой.
Ранг системы строк – это максимальное количество линейно-независимых строк. Аналогичным образом определяется ранг системы столбцов.
Примечания:
- Ранг нулевой матрицы (обозначается символом “θ“) любого размера равняется нулю.
- Ранг любого ненулевого вектора-строки или вектора-столбца равняется единице.
- Если в матрице любых размеров присутствует хотя бы один элемент, не равный нулю, значит ее ранг не меньше единицы.
- Ранг матрицы не больше её минимальной размерности.
- Элементарные преобразования, выполненные над матрицей, не меняют её ранга.
Нахождение ранга матрицы
Метод окаймляющих миноров
Ранг матрицы равняется максимальному порядку ненулевого минора.
Алгоритм следующий: находим миноры от низших порядков к высоким. Если минор n-го порядка не равняется нулю, а все последующие (n+1) равны 0, значит ранг матрицы равен n.
Пример
Чтобы было понятнее, давайте разберем практический пример и найдем ранг матрицы A ниже, пользуясь методом окаймляющих миноров.
Решение
Мы имеем дело с матрицей 4×4, следовательно, ее ранг не может быть выше 4. Также в матрице присутствуют ненулевые элементы, значит, ее ранг не меньше единицы. Итак, приступим:
1. Начинаем проверять миноры второго порядка. Для начала берем две строки первого и второго столбцов.
Минор равняется нулю.
Следовательно переходим к следующему минору (первый столбец остается, а вместо второго берем третий).
Минор равен 54≠0, следовательно ранг матрицы не меньше двух.
Примечание: Если бы и этот минор оказался равным нулю, мы бы дальше проверили следующие комбинации:
Если требуется, перебор можно аналогичным образом продолжить со строками:
- 1 и 3;
- 1 и 4;
- 2 и 3;
- 2 и 4;
- 3 и 4.
Если бы все миноры второго порядка оказались равными нулю, то ранг матрицы равнялся бы одному.
2. Нам удалось почти сразу найти минор, который нам подходит. Поэтому переходим к минорам третьего порядка.
К найденному минору второго порядка, который дал отличный от нуля результат, добавляем одну строку и один из столбцов, выделенных зеленым цветом (начнем со второго).
Минор оказался равным нулю.
Следовательно меняем второй столбец на четвертый. И со второй попытки нам удается найти минор, не равный нулю, значит ранг матрицы не может быть меньше 3.
Примечание: если бы результат снова оказался равным нулю, вместо второй строки мы бы дальше взяли четвертую и продолжили бы поиски “хорошего” минора.
3. Теперь остается определить миноры четвертого порядка с учетом найденного ранее. В данном случае он один, который совпадает с определителем матрицы.
Минор равняется 144≠0. А это значит, что ранг матрицы A равняется 4.
Приведение матрицы к ступенчатому виду
Ранг ступенчатой матрицы равняется количеству её ненулевых строк. То есть все, что нам нужно сделать – это привести матрицу к соответствующему виду, например, с помощью элементарных преобразований, которые, как мы уже упомянули выше, не меняют ее ранг.
Пример
Найдем ранг матрицы B ниже. Мы не берем слишком сложный пример, т.к. наша основная цель – это просто продемонстрировать применение метода на практике.
Решение
1. Сначала вычтем из второй строки удвоенную первую.
2. Теперь отнимем из третьей строки первую, умноженную на четыре.
Таким образом, мы получили ступенчатую матрицу, в которой количество ненулевых строк равняется двум, следовательно ее ранг, также, равен 2.
