Что такое рациональные числа

В данной публикации мы рассмотрим, что такое рациональные числа, как их сравнивать между собой, а также какие арифметические действия с ними можно выполнить (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень). Теоретические материал сопроводим практическими примерами для лучшего понимания.

Определение рационального числа

Рациональным называется число, которой можно представить в виде обыкновенной (простой) дроби. Множество рациональных чисел имеет специальное обозначение – Q.

Правила сравнения рациональных чисел:

1. Любое положительное рациональное число больше нуля. Обозначается “больше” специальным знаком “>“.
   Например: 5>0, 12>0, 144>0, 2098>0 и т.д.
2. Любое отрицательное рациональное число меньше нуля. Обозначается “меньше” символом “<“.
   Например: -3<0, -22<0, -164<0, -3042<0 и т.д.
3. Из двух положительных рациональных чисел больше то, у которого больше абсолютная величина.
   Например: 10>4, 132>26, 1216<1516 и т.д.
4. Из двух отрицательных рациональных чисел большим является то, у которого меньше абсолютная величина.
   Например: -3>-20, -14>-202, -54<-10 и т.д.

Арифметические действия с рациональными числами

Сложение

1. Чтобы найти сумму рациональных чисел с одинаковыми знаками, просто складываем их модули, затем перед получившимся результатом ставим их знак.

Например:

• 5 + 2 = + (5 + 2) = +7 = 7
• 13 + 8 + 4 = + (13 + 8 + 4) = +25 = 25
• -9 + (-11) = – (9 + 11) = -20
• -14 + (-53) + (-3) = – (14 + 53 + 3) = -70

Примечание: Если перед числом не стоит знак, то подразумевается “+“, т.е. оно является положительным. Также в полученном результате “плюс” можно опускать.

2. Для того, чтобы найти сумму рациональных чисел с разными знаками, мы к числу с большим модулем прибавляем те, у которых знак совпадает с ним, и отнимаем числа с противоположными знаками (величины берем абсолютные). Затем перед результатом ставим знак числа, из которого мы всё вычитали.

Например:

• -6 + 4 = – (6 – 4) = -2
• 15 + (-11) = + (15 – 11) = +4 = 4
• -21 + 15 + 2 + (-4) = – (21 + 4 – 15 – 2) = -8
• 17 + (-6) + 10 + (-2) = + (17 + 10 – 6 – 2) = 19

Вычитание

Для нахождения разности двух рациональных чисел к уменьшаемому прибавляем противоположное вычитаемому число.

Например:

• 9 – 4 = 9 + (-4) = 5
• 3 – 7 = 3 + (-7) = – (7 – 3) = -4

Если вычитаемых несколько, то сначала складываем все положительные числа, затем – все отрицательные (в т.ч. уменьшаемое). Таким образом мы получим два рациональных числа, разность которых находим по алгоритму выше.

Например:

• 12 – 5 – 3 = 12 – (5 + 3) = 4
• 22 – 16 – 9 = 22 – (16 + 9) = 22 – 25 = – (25 – 22) = -3

Умножение

Для нахождения произведения двух рациональных чисел просто перемножаем их модули, затем перед получившимся результатом ставим:

• знак “+“, если у обоих сомножителей один и тот же знак;
• знак “–“, если сомножители имеют разные знаки.

Например:

• 3 · 7 = 21
• -15 · 4 = -60

Когда сомножителей больше двух, то:

1. Если все числа положительные – то результат будет со знаком “плюс”.
2. Если есть как положительные, так и отрицательные числа, то считаем количество последних:
   • четное количество –  результат с “плюсом”;
   • нечетное количество – результат с “минусом”.

Например:

• 5 · (-4) · 3 · (-8) = 480
• 15 · (-1) · (-3) · (-10) · 12 = -5400

Деление

Как и в случае с умножением, выполняем действие с модулями чисел, затем ставим соответствующий знак с учетом правил, описанных в пункте выше.

Например:

• 12 : 4 = 3
• 48 : (-6) = -8
• 50 : (-2) : (-5) = 5
• 128 : (-4) : (-8) : (-1) = -4

Возведение в степень

Возведение рационального числа a в степень n – это то же самое, что и умножить это число само на себя n-ое количество раз. Пишется как a ⁿ.

При этом:

• Любая степень положительного числа в результате дает положительное число.
• Четная степень отрицательного числа положительна, нечетная – отрицательна.

Например:

• 2⁶ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
• -3⁴ = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = 81
• -6³ = (-6) · (-6) · (-6) = -216