В данной публикации мы рассмотрим признаки равенства треугольников, а также разберем пример решения задачи разными способами для закрепления изложенного материала.
Признаки равенства треугольников
Два треугольника равны между собой, если выполняется одно из условий, представленных ниже.
1 признак
Две стороны и угол между ними первого треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними второго треугольника.
2 признак
Сторона и два прилежащих к ней угла первого треугольника соответсвенно равны стороне и двум прилежащим к ней углам второго треугольника.
3 признак
Три стороны первого треугольника соответственно равны трем сторонам второго треугольника.
Примечание: равенство прямоугольных треугольников, наряду с вышеперечисленными, доказывается и по другим признакам.
Пример задачи
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке E. Докажите, что △AED = △BEC.
Решение 1
Т.к. это параллелограмм, его противоположные стороны равны, т.е. AD=BC.
Диагональ AC, также, является секущей, которая пересекает две параллельные прямые, на которых лежат стороны AD и BC. Как известно, внутренние накрест лежащие углы попарно равны, следовательно, ∠СAD = ∠ACB. Аналогичным образом, равны углы ∠BDA и ∠DBC.
Значит, рассматриваемые нами треугольники △AED и △BEC равны по второму признаку равенства (по стороне и 2 прилежащим к ней углам).
Примечание: таким же способом можно доказать, что △AEB = △CED.
Решение 2
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, т.е. AE=EC и BE=ED. Также противоположные стороны параллелограмма равны, т.е. BC=AD.
Таким образом, △AED и △BEC равны согласно третьему признаку равенства (по трем сторонам).
Примечание: Аналогичным образом можно доказать равенство △AEB и △CED.
Решение 3
Разбирая решения 1 и 2 мы уже выяснили, что накрест лежащие углы равны, а диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся на две одинаковые части.
С учетом этого, доказать равенство треугольников △AED и △BEC (или △AEB и △CED) можно, сославшись на первый признак (по двум сторонам и углу между ними).
