В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.
Формула разности кубов
Разность кубов чисел/выражений равняется произведению их разности на неполный квадрат их суммы.
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Полный квадрат суммы выглядит следующим образом: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. В нашем случае во второй скобке напротив второго слагаемого нет множителя 2, поэтому выражение является неполным.
Формула верна и в обратную сторону:
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Примечание: a3 – b3 ≠ (a – b)3
Доказательство формулы
Достаточно просто умножить скобку (a – b) на (a2 + ab + b2), чтобы убедиться в том, что выражение верно, т.е. пойти от обратного:
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 = a3 – b3.
Примеры задач
Задание 1
Представьте в виде произведения множителей выражение: (7x)3 – 53.
Решение
(7x)3 – 53 = (7x – 5)((7x)2 + 7x ⋅ 5 + 52) = (7x – 5)(49x2 + 35x + 25)
Задание 2
Представьте выражение 512x3 – 27y3 в виде разности кубов и разложите его на множители.
Решение
512x3 – 27y3 = ((8x)3 – (3y)3) = (8x – 3y)((8x)2 + 8x ⋅ 3y + (3y)2) = (8x – 3y)(64x2 + 24xy + 9y2)
