Разность квадратов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим формулу сокращенного умножения, с помощью которой можно разложить разность квадратов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула разности квадратов

Разность квадратов чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.

a² – b² = (a – b)(a + b)

Формулу можно представить справа-налево:

(a – b)(a + b) = a² – b²

Примечание: a² – b² ≠ (a – b)²

Доказательство формулы

Арифметическое

Давайте проверим формулу от обратного, т.е. перемножим (a-b) и (a+b).

Раскрыв скобки с учетом правил арифметики получаем исходную формулу:
(a-b)(a+b) = a² + ab – ba – b² = a² – b².

Геометрическое

Изобразим квадрат с длиной стороны a, площадь которого равна a². В нем расположен квадрат поменьше со стороной b и площадью b².

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры голубого цвета (a² – b²).

Продолжив любую из линий сторон меньшего квадрата до границ большего мы получим:

• квадрат площадью b²;
• прямоугольник со сторонами a и (a-b);
• прямоугольник со сторонами b и (a-b).

Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая вычисляется таким образом:

S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a² – ab + ba – b² = a² – b²

Примеры задач

Задание 1
Раскройте скобки: (8x – 3y)(8x + 3y).

Решение
Применим формулу сокращенного умножения:
(8x – 3y)(8x + 3y) = 64x² – 9y²

Задание 2
Разложите на множители выражение: 25x² – y².

Решение
Воспользуемся формулой в обратную сторону:
25x² – y² = (5x – y)(5x + y)

Проверка
(5x – y)(5x + y) = 25x² + 5xy – 5xy – y² = 25x² – y²