В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства средних линий выпуклого четырехугольника касательно точки их пересечения, соотношения с диагоналями и т.д.
Примечание: далее мы будем рассматривать только выпуклую фигуру.
Определение средней линии четырехугольника
Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника (т.е. не пересекающий их), называется его средней линией.
- EF – средняя линия, соединяющая середины AB и CD; AE=EB, CF=FD.
- GH – средняя линия, сеодиняющая середины BC и AD; BG=GC, AH=HD.
Свойства средней линии четырехугольника
Свойство 1
Средние линии четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.
- EF и GH (средние линии) пересекаются в точке O;
- EO=OF, GO=OH.
Примечание: Точка O является центроидом (или барицентром) четырехугольника.
Свойство 2
Точка пересечения средних линий четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего середины его диагоналей.
- K – середина диагонали AC;
- L – середина диагонали BD;
- KL проходит через точку O, соединяя K и L.
Свойство 3
Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, который называется параллелограммом Вариньона.
Центром образованного таким образом параллелограмма и точкой пересечения его диагоналей является середина средних линий исходного четырехугольника, т.е. точка их пересечения – O.
Примечание: Площадь параллелограмма равняется половине площади четырехугольника.
Свойство 4
Если углы между диагоналями четырехугольника и его средней линией равны, значит диагонали имеют одинаковую длину.
- EF – средняя линия;
- AC и BD – диагонали;
- ∠ELC = ∠BMF = α, следовательно AC=BD.
Свойство 5
Средняя линия четырехугольника меньше или равна полусумме непересекающих ее сторон (при условии, что данные стороны параллельны).
EF – средняя линия, не пересекающаяся со сторонами AD и BC.
Иначе говоря, средняя линия четырехугольника равняется половине суммы не пересекающих ее сторон тогда и только тогда, когда данный четырехугольник является трапецией. В этом случае рассматриваемые стороны являются основаниями фигуры.
Свойство 6
Для вектора средней линии произвольного четырехугольника выполняется следующее равенство:
