В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства прямоугольного треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.
Определение прямоугольного треугольника
Прямоугольным называют треугольник, в котором один из трех углов является прямым, т.е. равным 90°.
- AB и AC – катеты;
- BC – гипотенуза.
Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным – когда оба катета равны, а угол между каждым из них и гипотенузой составляет 45°.
Свойства прямоугольного треугольника
Свойство 1
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равняется 90°.
α + β = 90°
Сумма всех углов любого треугольника составляет 180°. Т.к. один угол равен 90°, на два других, также, остается 90°.
Свойство 2
Катет прямоугольного треугольника, расположенный напротив угла в 30°, равняется половине его гипотенузы.
В нашем случае, катет AB лежит напротив ∠ACB = 30°. Следовательно:
Обратная формулировка:
Если длина одного из катетов прямоугольного треугольника в два раза меньше длины его гипотенузы, значит угол напротив этого катета равняется 30°.
Свойство 3
Терему Пифагора можно, также, отнести к свойствам прямоугольного треугольника. Согласно ее формулировке, сумма квадратов катетов (a и b) равняется квадрату гипотенузы (c).
a2 + b2 = c2
Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов.
Свойство 4
Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника (проведенная из вершины прямого угла), равняется половине гипотенузы.
- AD – медиана
- AD = BD = DC
Свойство 5
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника – это центр описанной вокруг него окружности.
Согласно свойству 4, рассмотренному выше, медиана BO равняется половине гипотенузы AC и, одновременно, радиусу окружности, описанной вокруг △ABC.
BO = AO = OC = Rокр.
Пример задачи
В качестве примера давайте рассмотрим второе свойство, представленное выше. Допустим у нас имеется прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C. Катет BC расположен напротив угла в 30°. Нужно доказать, что BC в два раза меньше гипотенузы AB.
Решение
Нарисуем чертеж по условиям задачи, и зеркально отразим получившийся треугольник.
Получаем △ABD, в котором ∠BAD равен 60° (30° + 30°). Т.к. все три угла данного треугольника равны, он является равносторонним. Следовательно, AD = AB = BD.
Отрезки BC и CD равны между собой (зеркально отраженные), и каждый из них составляет половину BD. Как мы уже выяснили, BD равняется AB.
Таким образом, BC в два раза меньше AB (или AB = 2BC).
