В данной публикации мы рассмотрим одну из классических теорем аффинной геометрии – теорему Чевы, которая получила такое название в честь итальянского инженера Джованни Чевы. Также разберем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.
Формулировка теоремы
Дан треугольник ABC, в котором каждая вершина соединена с точкой на противоположной стороне.
Таким образом, мы получаем три отрезка (AA’, BB’ и CC’), которые называются чевианами.
Данные отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:
|AC’| ⋅ |BA’| ⋅ |CB’| = |BC’| ⋅ |CA’| ⋅ |AB’|
Теорему можно, также, представить в таком виде (определяется, в каком соотношении точки делят стороны):
Тригонометрическая теорема Чевы
Примечание: все углы – ориентированные.
Пример задачи
Дан треугольник ABC с точками A’, B’ и C’ на сторонах BC, AC и AB, соответственно. Вершины треугольника соединены с данным точками, и образованные отрезки проходят через одну точку. При этом точки A’ и B’ взяты на серединах соответствующих противоположных сторон. Выясните, в каком соотношении точка C’ делит сторону AB.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи. Для нашего удобства примем следующие обозначения:
- AB’ = B’C = a
- BA’ = A’C = b
Остается только составить соотношение отрезков согласно теореме Чевы и подставить в него принятые обозначения:
После сокращения дробей получаем:
Значит, AC’ = C’B, т.е. точка C’ делит сторону AB пополам.
Следовательно, в нашем треугольнике отрезки AA’, BB’ и CC’ являются медианами. Решив задачу мы доказали, что они пересекаются в одной точке (справедливо для любого треугольника).
Примечание: с помощью теоремы Чевы можно доказать, что в треугольнике в одной точке, также, пересекаются биссектрисы или высоты.
