В данной публикации мы рассмотрим одну из главных теорем евклидовой геометрии, теорему синусов, которая определяет соотношение сторон в треугольнике, а также, научимся применять ее на практике для решения задач.
Формулировка и формула теоремы
1. Обычная теорема
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
2. Расширенная теорема
В произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:
R – радиус описанной вокруг треугольника окружности.
Примеры задач
Задание 1
В треугольнике известна длина основания – 10 см, противолежащий основанию угол – 90°, а также, один из углов, прилегающих к нему – 45°. Найдите сторону напротив угла 45°.
Решение:
Примем неизвестную сторону за x и применим теорему синусов:
Следовательно:
Задание 2
Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны, соответственно, 10 и 8 см. Найти угол, расположенный напротив данного катета.
Решение:
Как мы знаем, в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. С учетом этого, соотношение сторон выглядит следующим образом:
Следовательно:
Значит x = arcsin (4/5) ≈ 53,1°.
