В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем евклидовой геометрии – теорему Стюарта, получившую такое название в честь английского математика М. Стюарта, доказавшего ее. Также подробно разберем пример решения задачи для закрепления представленного материала.
Формулировка теоремы
Дан треугольнике ABC. На его стороне AC взята точка D, которая соединена с вершиной B. Примем следующие обозначения:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = y
Для данного треугольника справедливо равенство:
Применение теоремы
Из теоремы Стюарта можно вывести формулы для нахождения медиан и биссектрис треугольника:
1. Длина биссектрисы
Пусть lc – это биссектриса, проведенная к стороне c, которая делится на отрезки x и y. Две другие стороны треугольника примем за a и b. В этом случае:
2. Длина медианы
Пусть mc – это медиана, опущенная на сторону c. Две другие стороны треугольника обозначим как a и b. Тогда:
Пример задачи
Дан треугольник ABC. На стороне AC, равной 9 см, взята точка D, которая делит сторону так, что AD в два раза длиннее DC. Длина отрезка, соединяющего вершину B и точку D, составляет 5 см. При этом образованный треугольник ABD является равнобедренным. Найдите оставшиеся стороны треугольника ABC.
Решение
Изобразим условия задачи в виде чертежа.
AC = AD + DC = 9 см. Отрезок AD длиннее DC в два раза, т.е. AD = 2DC.
Следовательно, 2DC + DC = 3DC = 9 см. Значит, DC = 3 см, AD = 6 см.
Т.к. треугольник ABD – равнобедренный, и сторона AD равна 6 см, значит равными являются AB и BD, т.е. AB = 5 см.
Остается только найти BC, выведя формулу из теоремы Стюарта:
Подставляем в данное выражение известные нам значения:
Таким образом, BC = √52 ≈ 7,21 см.
