В данной публикации мы рассмотрим определение, классификацию и свойства одной из основных геометрических фигур – треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.
Определение треугольника
Треугольник – это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из трех сторон, которые образованы путем соединения трех точек, не лежащих на одной прямой. Для обозначения используется специальный символ – △.
- Точки A, B и C – вершины треугольника.
- Отрезки AB, BC и AC – стороны треугольника, которые часто обозначаются в виде одной латинской буквы. Например, AB = a, BC = b, AC = c.
- Внутренность треугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами треугольника.
Стороны треугольника в вершинах образуют три угла, традиционно обозначающиеся греческими буквами – α, β, γ и т.д. Из-за этого треугольник еще называют многоугольником с тремя углами.
Углы можно, также, обозначать с помощью специального знака “∠“:
- α – ∠BAC или ∠CAB
- β – ∠ABC или ∠CBA
- γ – ∠ACB или ∠BCA
Классификация треугольников
В зависимости от величины углов или количества равных сторон выделяют следующие виды фигуры:
1. Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°.
2. Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
3. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и AC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (BC).
4. Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
5. Равнобедренный – треугольник, имеющие две равные стороны, которые называются боковыми (AB и BC). Третья сторона – это основание (AC). В данной фигуре углы при основании равны (∠BAC = ∠BCA).
6. Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
Свойства треугольника
1. Любая из сторон треугольника меньше двух оставшихся, но больше их разности. Для удобства примем стандартные обозначения сторон – a, b и с. Тогда:
b – c < a < b + c, при b > с
Это свойство применяется для проверки отрезков на предмет того, могут ли они образовывать треугольник.
2. Сумма углов любого треугольника равняется 180°. Из этого свойства следует, что в тупоугольном треугольнике два угла всегда являются острыми.
3. В любом треугольнике напротив большей стороны находится больший угол, и наоборот.
Примеры задач
Задание 1
В треугольнике известны два угла – 32° и 56°. Найдите значение третьего угла.
Решение
Примем известные углы за α (32°) и β (56°), а неизвестный – за γ.
Согласно свойству о сумме всех углов, α + β + γ = 180°.
Следовательно, γ = 180° – α – β = 180° – 32° – 56° = 92°.
Задание 2
Даны три отрезка длиной 4, 8 и 11. Выясните, могут ли они образовать треугольник.
Решение
Составим неравенства для каждого из заданных отрезков, исходя из свойства, рассмотренного выше:
11 – 4 < 8 < 11 + 4
8 – 4 < 11 < 8 + 4
11 – 8 < 4 < 11 + 8
Все они верны, следовательно, данные отрезки могут быть сторонами треугольника.
