Линейная зависимость векторов

В данной публикации мы рассмотрим, что такое линейная комбинация векторов, какие векторы являются линейно зависимыми и независимыми, а также разберем пример задачи по этой теме.

Определение линейной зависимости векторов

Линейная комбинация векторов a₁, …, a_n – это вектор, заданный выражением x₁a₁ + … + x_na_n, где x₁, …, x_n – коэффициенты.

Представленная комбинация может быть:

• Тривиальная – все коэффициенты x₁, …, x_n равняются нулю.
• Нетривиальная – хотя бы один из коэффициентов x₁, …, x_n не равен нулю.

Векторы a₁, …, a_n линейно независимы, если только их тривиальная комбинация равна нулевому вектору. То есть:

a₁, …, a_n линейно независимы, если x₁a₁ + … + x_na_n = 0, исключительно когда x₁ = 0, …, x_n = 0.

Векторы a₁, …, a_n линейно зависимы, если есть такая их нетривиальная комбинация, которая равняется нулевому вектору.

Свойства линейно зависимых векторов

• Линейно зависимые векторы в двух/трехмерном пространстве коллинеарны. Справедливо и обратное утверждение.
• В трехмерном пространстве три линейно зависимых вектора компланарны.  Утверждение верно и в обратную сторону.

Пример задачи

Проверим, являются ли векторы a = {1; 2} и b = {2; 4} линейно зависимыми.

Решение:

Нам требуется найти значения коэффициентов, при которых линейная комбинация этих векторов равняется нулевому вектору.

xa + yb = 0

Полученное векторное уравнение можно представить в виде системы линейных уравнений:

Данная система имеет множество решений, при этом x = -2y.

То есть существует ненулевая комбинация коэффициентов x и y, при которых комбинация векторов a и b равняется нулевому вектору. Следовательно, заданные векторы линейно зависимы.