Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства

336

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему, умноженному на постоянный множитель.

Общий вид геометрической прогрессии

b1, b1q, b2q, …, bn-1q

  • q – знаменатель прогрессии; это и есть постоянный множитель.
  • b ≠ 0, q ≠ 0

Члены прогрессии:

  • b1
  • b2 = b1q
  • b3 = b2q = b1q2
  • и т.д.

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Виды прогрессии:

  • возрастающая: b1 > 0 и q1 > 0;
  • убывающая: 0 < q < 1;
  • знакочередующаяся: q < 0;
  • стационарная: q = 1.

Свойства и формулы геометрической прогрессии

1. Нахождение n-ого члена (bn)

  • bn = bn-1q
  • bn = b1qn-1

2. Знаменатель прогрессии

Формула знаменателя геометрической прогрессии

3. Характеристическое свойство

Последовательность чисел b1, b2, b3 является геометрической прогрессией, если для любого ее члена справедливо следующее выражение:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

При условии: 1 < i < n

Также данное свойство можно представить в таком виде:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

4. Сумма первых членов прогрессии

Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии можно, используя формулу ниже (если q ≠ 1):

Формула суммы первых членов геометрической прогрессии

Если q = 1, то Sn = nb1

5. Произведение первых членов прогрессии

Формула произведения первых членов геометрической прогрессии

6. Произведение членов прогрессии с k по n

Формула произведения членов геометрической прогрессии c k по n

7. Сумма всех членов убывающей прогрессии

Формула суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии

При условии: |q| < 1, а значит, bn → 0 при n → + ∞.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя