Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему, умноженному на постоянный множитель.
Общий вид геометрической прогрессии
b1, b1q, b2q, …, bn-1q
- q – знаменатель прогрессии; это и есть постоянный множитель.
- b ≠ 0, q ≠ 0
Члены прогрессии:
- b1
- b2 = b1q
- b3 = b2q = b1q2
- и т.д.
Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.
Виды прогрессии:
- возрастающая: b1 > 0 и q1 > 0;
- убывающая: 0 < q < 1;
- знакочередующаяся: q < 0;
- стационарная: q = 1.
Свойства и формулы геометрической прогрессии
1. Нахождение n-ого члена (bn)
- bn = bn-1q
- bn = b1qn-1
2. Знаменатель прогрессии
3. Характеристическое свойство
Последовательность чисел b1, b2, b3 … является геометрической прогрессией, если для любого ее члена справедливо следующее выражение:
При условии: 1 < i < n
Также данное свойство можно представить в таком виде:
4. Сумма первых членов прогрессии
Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии можно, используя формулу ниже (если q ≠ 1):
Если q = 1, то Sn = nb1
5. Произведение первых членов прогрессии
6. Произведение членов прогрессии с k по n
7. Сумма всех членов убывающей прогрессии
При условии: |q| < 1, а значит, bn → 0 при n → + ∞.