Что такое средняя линия треугольника

642

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Средняя линия треугольника

  • KL – средняя линия треугольника ABC
  • K – середина стороны AB: AK = KB
  • L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.

На рисунке выше:

  • KL параллельна AC
  • KL = 1/2 ⋅ AC

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На рисунке выше:

  • △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
  • Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
    AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL
    .
  • S△ABC = 4 ⋅ S△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

Три средние линии треугольника

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

  • KL || AC, KL = 1/2 ⋅ AC
  • KM || BC, KM = 1/2 ⋅ BC
  • ML || AB, ML = 1/2 ⋅ AB

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

Деление треугольника на 4 равных треугольника тремя средними линиями

S1 = S2 = S3 = S4

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Решение

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Средняя линия в прямоугольном треугольнике

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1/2 ⋅ BC = 1/2 ⋅ 10 = 5.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии