Теорема косинусов для треугольника: формула и задачи

354

В данной публикации мы рассмотрим одну из главных теорем евклидовой геометрии, теорему косинусов, которая определяет соотношение сторон в треугольнике, а также, научимся применять ее на практике для решения задач.

Формулировка и формула теоремы

В плоском треугольнике квадрат стороны равняется сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение данных сторон, умноженное на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

Теорема косинусов

Следствие из теоремы

Формула теоремы может применяться для того, чтобы найти косинус угла в треугольнике:

Следствие из теоремы косинусов

При этом:

  • если b2 + c2 – a2 > 0, значит угол α – острый;
  • если b2 + c2 – a2 = 0, значит угол α равен 90 градусам (терема косинусов принимает вид Теоремы Пифагора);
  • если b2 + c2 – a2 < 0, значит угол α – тупой.

Примеры задач

Задание 1
В треугольнике известны длины двух сторон – 5 и 9 см, а также, угол между ними – 60°. Найдите длину третьей стороны.

Решение:
Применим формулу теоремы, приняв известные стороны за b и c, а неизвестную за a:
a2 = 52 + 92 – 2 * 5 * 9 * cos 60° = 25 + 81 – 45 = 61 см2. Следовательно, сторона a = √61 см ≈ 7,81 см.

Задание 2
Самая большая сторона треугольника равна 26 см, а две другие – 16 и 18 см. Найдите угол между меньшими сторонами.

Решение:
Примем бОльшую сторону за a. Чтобы найти угол между сторонами b и c, воспользуемся следствием из теоремы:

Следствие из теоремы косинусов

Следовательно, угол α = arccos (-1/6) ≈ 99,59°.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя