Определение и свойства медианы треугольника

876

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

  • BF – медиана, проведенная к стороне AC.
  • AF = FC

Медиана треугольника

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Пересечение медиан треугольника (центр тяжести)

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

  • AO = 2OE
  • BO = 2OF
  • CO = 2OD

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Деление треугольника медианой на 2 равновеликих треугольника

S1 = S2

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Деление треугольника тремя медианами на 6 равновеликих треугольников

S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Медианы в треугольнике

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длина медианы через длины сторон треугольника

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Длина медианы через длины сторон треугольника (формула)

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см2. Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см2 ⋅ 6 = 30 см2.

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Длина медианы через длины сторон треугольника (пример)

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя