Теорема Менелая: формулировка и пример с решением

107

В данной публикации мы рассмотрим одну из классических теорем аффинной геометрии – теорему Менелая, которая так названа в честь древнегреческого математика и астронома, Менелая Александрийского. Также разберем пример решения задачи для того, чтобы закрепить представленный материал.

Формулировка теоремы

Дан треугольник ABC и прямая, которая проходит через него следующим образом:

  • B’ – точка пересечения со стороной AC;
  • C’ – точка пересечения со стороной AB;
  • A’ – точка пересечения прямой и продолжения стороны ВC;
  • Важно: A’, B’ и С’ лежат на одной прямой, т.е. являются коллинеарными.

Теорема Менелая для треугольника

При выполнении всех перечисленных выше условий справедливо соотношение длин отрезков:

Теорема Менелая

Следствия из теоремы

1. Тригонометрический эквивалент

Тригонометрический эквивалент (формула)

Примечание: все углы – ориентированные

2. Вид теоремы в сферической геометрии

Формула теоремы Менелая в сферической геометрии

3. Вид теоремы в геометрии Лобачевского

Формула теоремы Менелая в геометрии Лобачевского

Пример задачи

Дан треугольник ABC с точками X на стороне AB и Y на стороне AC. На пересечении прямой, проходящей через данные точки, и продолжения стороны BC образована точка Z. При этом длина BC в два раза больше СZ, а отрезки AY и YC равны между собой. Найдите соотношение BX к XA.

Решение

Давайте представим условия задачи в виде чертежа. Для удобства условно обозначим отрезок CZ буквой a (значит, BC = 2a) и AY=YC как b.

Теорема Менелая для треугольника

Теперь составляем соотношение отрезков, воспользовавшись теоремой Менелая:
Соотношение сторон треугольника по теореме Менелая

Подставляем вместо данных отрезков наши условные обозначения:
Соотношение сторон треугольника по теореме Менелая (пример)

После сокращения дробей получаем:
Соотношение сторон треугольника по теореме Менелая (пример)

Таким образом, BX = 3XA.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя