Теорема синусов для треугольника: формула и задачи

276

В данной публикации мы рассмотрим одну из главных теорем евклидовой геометрии, теорему синусов, которая определяет соотношение сторон в треугольнике, а также, научимся применять ее на практике для решения задач.

Формулировка и формула теоремы

1. Обычная теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема синусов

Теорема синусов

2. Расширенная теорема

В произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Расширенная теорема синусов

Расширенная теорема синусов

R – радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Примеры задач

Задание 1
В треугольнике известна длина основания – 10 см, противолежащий основанию угол – 90°, а также, один из углов, прилегающих к нему – 45°. Найдите сторону напротив угла 45°.

Решение:
Примем неизвестную сторону за x и применим теорему синусов:

Теорема синусов

Следовательно:

Теорема синусов

Задание 2
Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны, соответственно, 10 и 8 см. Найти угол, расположенный напротив данного катета.

Решение:
Как мы знаем, в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. С учетом этого, соотношение сторон выглядит следующим образом:

Теорема синусов

Следовательно:

Теорема синусов

Значит x = arcsin (4/5) ≈ 53,1°.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя