Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

465

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Равносторонний (правильный) треугольник

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Равенство углов равностороннего (правильного) треугольника

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Высота, медиана и биссектриса равностороннего (правильного) треугольника

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

  • CD перпендикулярна AB => ∠ADC = ∠BDC = 90°
  • AD = DB
  • ∠ACD = ∠DCB = 30°

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Пересечение биссектрис, медиан и высот равностороннего (правильного) треугольника

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего (правильного) треугольника окружностей

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Радиусы вписанной и описанной вокруг равностороннего (правильного) треугольника окружностей

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Высота равностороннего треугольника (формула)

2. Радиус вписанной окружности:
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности (формула)

3. Радиус описанной окружности:
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности (формула)

4. Периметр:
Периметр равностороннего треугольника (формула)

5. Площадь:
Площадь равностороннего треугольника (формула)

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Высота равностороннего треугольника (пример)
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности (пример)
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности (пример)

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя