Куб разности: формула и примеры

1051

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения для разложения на множители куба разности. Также подробно разберем пример решения задачи для закрепления материала.

Формула куба разности

Куб разности a и b равняется кубу a минус утроенное произведение квадрата a на b плюс утроенное произведение квадрата b на a минус куб b.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Формула работает в обратную сторону:

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Доказательство формулы

Представим куб разности в виде произведения:
(a – b)3 = (a – b)(a – b)(a – b).

Теперь поочередно выполняем перемножение скобок с учетом арифметических правил:
(a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)(a – b)2 = (a – b)(a2 – 2ab + b2) = a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата разности:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

Пример

Разложите выражение (4x – 6y)3 на множители.

Решение:
Воспользуемся общей формулой, подставив в нее наши значения:
(4x – 6y)3 = (4x)3 – 3 ⋅ (4x)2 ⋅ 6y + 3 ⋅ 4x ⋅ (6y)2 – (6y)3 = 64x3 – 288x2y + 432xy2 + 216y3

Проверка:
Давайте перемножим три одинаковые скобки:
(4x – 6y)3 = (4x – 6y)(4x – 6y)(4x – 6y) = (4x – 6y)(4x – 6y)2 = (4x – 6y)(16x2 – 48xy + 36y2) = 64x3 – 192x2y + 144xy2 – 96x2y + 288xy2 + 216y3 = 64x3 – 288x2y + 432xy2 + 216y3

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии