Арифметическая прогрессия: определение, формулы, свойства

60

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему плюс постоянное слагаемое.

Общий вид арифметической прогрессии

a1, a1 + d, a1 + 2d, … a1 + (n – 1) d, …

d – шаг или разность прогрессии; это и есть постоянное слагаемое.

Члены прогрессии:

  • a1
  • a2 = a1 + d
  • a3 = a2 + d = a1 + 2d
  • и т.д.

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Свойства и формулы арифметической прогрессии

1. Нахождение общего n-ого члена (an)

  • an = an-1 + d
  • an = a1 + (n – 1) d
  • an = am – (m – n) d

2. Разность прогрессии

d = an – an-1

Также для нахождения шага используется такая формула:

Формула разности арифметической прогрессии

3. Характеристическое свойство

Последовательность чисел a1, a2, a3 является арифметической прогрессией, если для любого ее члена выполняется следующее условие:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

4. Сумма первых членов прогрессии

Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии, необходимо воспользоваться формулой:

Формула суммы первых членов арифметической прогрессии

  • n – количество суммируемых членов.

Если an заменить на a1 + (n – 1) d, то получится:

Формула суммы первых членов арифметической прогрессии

5. Сумма членов прогрессии с n-ого по m-ный

Формула суммы членов арифметической прогрессии с n-ого по m-ный

  • (m – n + 1) – количество суммируемых членов.

Если am заменить на an + (m – n) d, то получим:

Формула суммы членов арифметической прогрессии с n-ого по m-ный

6. Сходимость прогрессии

Арифметическая прогрессия сходится при d = 0, во всех остальных случаях она расходится.

Сходимость арифметической прогрессии

При этом, если:

  • d > 0, прогрессия называется возрастающей;
  • d < 0 – убывающей;
  • d = 0 – стационарной.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя