Теорема Виета: для квадратного/кубического уравнения, обратная

153

В данной публикации мы рассмотрим теорему Виета, определяющую взаимосвязи между коэффициентами многочлена и его корнями, а также, научимся применять ее на практике для решения задач.

Формулировка теоремы

Если c1, c2…, cn являются корнями многочлена xn + a1xn−1 + a2xn−2 + … + an, где каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, то:

коэффициенты a1, a2…, an можно выразить в виде симметрических многочленов от корней, т.е.:

  • a1 = −(c1 + c2 + … + cn)
  • a2 = c1c2 + c1c3 + … + c1cn + c2c3 + … + cn−1cn
  • a3 = −(c1c2c3 + c1c2c4 + … + cn−2cn−1cn)
  • an−1 = (−1)n−1(c1c2 … cn−1 + c1c2 … cn−2cn + … + c2c3 … cn
  • an = (−1)nc1c2 … cn

Другими словами, (−1)kak равняется сумме всех возможных произведений из k корней.

Примечание: теорема названа в честь французского маетиматика Франсуа Виета.

Квадратное уравнение

Для квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 с корнями x1 и x2 справедливо:

Теорема Виета - квадратное уравнение

Если уравнение имеет вид x2 + px + c = 0 (приведенная форма при a = 1), то:

Теорема Виета - приведенная форма квадратного уравнения

Кубическое уравнение

Для кубического уравнения p(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 с корнями x1, x2 и x3 справедливо:

Теорема Виета - кубическое уравнение

Обратная теорема

Если для чисел x1 и x2 справедливы соотношения x1 + x2 = −p, а x1x2 = q, значит они являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + px + c = 0.

Примеры задач

Задание 1
Дано квадратное уравнение x2 − 70x + 600 = 0. Найдите его корни, используя теорему Виета.

Решение:
Используем соотношение корней для приведенного уравнения (т.к. a = 1):
x1 + x2 = 70
x1x2 = 600
Остается только подобрать числа x1 и x2, которые будут одновременно соответствовать данным уравнениям. В нашем случае – это 10 и 60.

Задание 2
Составьте уравнение, если известно, что его корни x1 и x2 равны 2 и −6, соответственно.

Решение:
Допустим, что у нас приведенное квадратное уравнение вида x2 + px + c = 0. В этом случае, исходя из установленных для него соотношений корней получаем:
p = −(x1 + x2) = −(2 + (−6)) = 4
q = x1x2 = 2 ⋅ (−6) = −12
Получаем уравнение, подставив найденные значения в формулу общего вида: x2 + 4x − 12 = 0.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя