Натуральный логарифм числа

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e (математическая константа, приблизительно равная числу 2.718281828459…).

Определение натурального логарифма

Когда e ^y = x, натуральный логарифм (ln) числа x выглядит следующим образом:

ln(x) = log_e(x) = y

Связь с экспоненциальной функцией

Функция логарифма ln(x) является обратной к экспоненциальной функции e^x.

Для х > 0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

или

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Свойства натурального логарифма

Свойство	Формула	Пример
Логарифм умножения	ln (x ⋅ y) = ln (x) + ln (y)	ln (3 ⋅ 7) = ln (3) + ln (7)
Логарифм деления	ln (x / y) = ln (x) - ln (y)	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Логарифм степени	ln (x y) = y ⋅ ln (x)	ln (28) = 8 ⋅ ln (2)
Логарифм корня
Производная логарифма	f (x) = ln (x) ⇒ f ' (x) = 1 / x
Интеграл логарифма	∫ ln (x) dx = x ⋅ (ln (x) - 1) + C
Логарифм отрицательного числа	ln (x) не определен, если x ≤ 0
Логарифм числа 0	ln (0) не определен
Логарифм числа 1	ln (1) = 0
Логарифм комплексного числа	log z = ln (r) + i (θ + 2nπ) = ln (√(x 2 + y 2)) + i · arctan (y/x)), для комплексного числа z = re iθ = x + iy
Логарифм бесконечности	lim ln (x) = ∞, если x → ∞
Тождество Эйлера	ln (-1) = i ⋅ π

microexcel.ru

Таблица натуральных логарифмов

График натурального логарифма

Функция натурального логарифма задается как y = ln x. Существует только при неотрицательных значениях переменной x. График выглядит так: