Тождественные преобразования выражений

В данной публикации мы рассмотрим основные виды тождественных преобразований алгебраических выражений, сопроводив их формулами и примерами для демонстрации применения на практике. Цель таких преобразований – заменить исходное выражение на тождественно равное ему.

Перестановка местами слагаемых и множителей

В любой сумме можно переставить местами слагаемые.

a + b = b + a

В любом произведении можно переставить местами сомножители.

a ⋅ b = b ⋅ a

Примеры:

• 1 + 2 = 2 + 1
• 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Группировка слагаемых (множителей)

Если в сумме больше 2 слагаемых, их можно сгруппировать путем заключения в скобки. Если требуется, предварительно можно поменять их местами.

a + b + c + d = (a + c) + (b + d)

В произведении, также, можно выполнить группировку сомножителей.

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c)

Примеры:

• 15 + 6 + 5 + 4 = (15 + 5) + (6 + 4)
• 6 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 4 = (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Прибавление, вычитание, умножение или деление на одинаковое число

Если к обеим частям тождества прибавить или отнять одно и то же число, то оно останется верным.

Если a + b = c + d, то (a + b) ± e = (c + d) ± e.

Также равенство не будет нарушено, если обе его части умножить или разделить на одинаковое число.

Если a + b = c + d, то (a + b) ⋅/: e = (c + d) ⋅/: e.

Примеры:

• 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
• 42 + 14 = 7 ⋅ 8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Замена разности суммой (частого произведением)

Любую разность можно представить в виде суммы слагаемых.

a – b = a + (-b)

Тот же самый прием можно применить при делении, т.е. заменить частое произведением.

a : b = a ⋅ b^-1

Примеры:

• 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
• 42 : 3 = 42 ⋅ 3^-1

Выполнение арифметических действий

Упростить математическое выражение (иногда существенно) можно путем выполнения арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), учитывая общепринятый порядок их выполнения:

• сперва возводим в степени, извлекаем корни, вычисляем логарифмы, тригонометрические и другие функции;
• затем выполняем действия в скобках;
• в последнюю очередь – слева направо выполняем оставшиеся действия. При этом умножение и деление являются более приоритетными, нежели сложение и вычитание. Это касается и выражений в скобках.

Примеры:

• 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
• 20 : 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132

Раскрытие скобок

Скобки в арифметическом выражении можно убрать. Выполняется это действие по определенным правилам – в зависимости о того, какие знаки (“плюс”, “минус”, “умножить” или “разделить”) стоят перед скобками или после них.

Примеры:

• 117 + (90 – 74 – 38) = 117 + 90 – 74 – 38
• 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 – 192
• 22 ⋅ (8 + 14) = 22 ⋅ 8 + 22 ⋅ 14
• 18 : (4 – 6) = 18 : 4 – 18 : 6

Вынесение за скобки общего множителя

Если все слагаемые в выражении имеют общий множитель, его можно вынести за скобки, в которых останутся слагаемые, деленные на этот множитель. Этот прием, также применим к буквенным переменным.

Примеры:

• 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 5 ⋅ (3 + 6)
• 28 + 56 – 77 = 7 ⋅ (4 + 8 – 11)
• 31x + 50x = x ⋅ (31 + 50)

Применение формул сокращенного умножения

Для выполнения тождественных преобразований алгебраических выражений также можно использовать формулы сокращенного умножения.

Примеры:

• (31 + 4)² = 31² + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4² = 1225
• 26² – 7² = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627