Нахождение производной степенной функции

416

В данной публикации мы рассмотрим, чему равна производная степенной функций (в т.ч. сложной), а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула производной степенной функции

Для функции f(x) = xn, где n – действительное число, справедливо следующее выражение:

f(x) = (xn) = nxn-1

Т.е. производная степенной функции равняется произведению показателя степени на основание в степени, уменьшенной на единицу.

n – может быть как положительным, так и отрицательным числом (в т.ч. дробным):

Формула производной степенной функции c отрицательным показателем степени

Производная сложной степенной функции

В сложной функции вместо x представлено более сложное выражение. Производная такой функции определяется по формуле:

(yn) = nyn-1 ⋅ y

Примеры задач

Задание 1:
Вычислите производную функцию f(x) = x3/5.

Решение:
Согласно правилам дифференцирования константу в виде дроби можно вынести за знак производной:
Вынос константы за знак производной

Применив формулу производной, рассмотренную выше, получаем:
Вычисление производной степенной функции

Задание 2:
Найдите производную функции f(x) = x2 + √x – 6.

Решение:
Первоначальный вид производной функции:
f(x) = (x2 + √x – 6)‘.

С учетом правила дифференцирования суммы получаем:
f(x) = (x2) + (√x) – (6)‘.

Остается только вычислить производные по отдельности:

(x2) = 2x2-1 = 2x
Производная степенной функции
(-6) = 0 (производная константы равна нулю)

Таким образом получаем:

Вычисление производной степенной функции

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя