Определение логарифма, его свойства и график

Логарифм числа – это показатель степени, в которую нужно возвести одно число, чтобы получить другое.

Если число b в степени y равняется x:

b^y = x

Значит логарифм числа x по основанию b равен y:

y = log_b(x)

Например:

2⁴ = 16

log₂(16) = 4

Логарифм как обратная функция к показательной

Логарифмическая функция y = log_b(x) является обратной функцией к показательной x=b ^y.

Так что, если мы вычислим показательную функцию логарифма х (х > 0), получится:
f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

Или если мы вычислим логарифм показательной функции х:
f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

Натуральный логарифм (ln)

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е.

ln(x) = log_e(x)

Число e – это константа, которая может определяться как предел:

или так:

Обратный логарифм

Обратный логарифм (или антилогарифм) числа n – это число, логарифм которого по основанию a равен числу n.

ant log_an = aⁿ

Таблица свойств логарифмов

Ниже представлены основные свойства логарифмов в табличном виде.

Свойство	Формула	Пример
Основное логарифмическое тождество	a loga b = b	2log28 = 8
Логарифм произведения	logb (x ⋅ y) = logb x + logb y	log10(3 ⋅ 7) = log103 + log107
Логарифм деления/частного	logb (x / y) = logb x - logb y	log10(3 / 7) = log103 - log107
Логарифм степени	logb (x y) = y ⋅ logb x	log10(28) = 8 ⋅ log102
Логарифм числа по основанию в степени
Логарифм корня
Перестановка основания логарифма	logb c = 1 / logc b	log28 = 1 / log82
Переход к новому основанию	logb x = logc x / logc b	log28 = log108 / log102
Производная логарифма	f(x) = logb x ⇒ f '(x) = 1 / (x ⋅ ln b)
Интеграл логарифма	∫ logb (x) dx = x ⋅ (logb x - 1 / ln b) + C
Логарифм отрицательного числа	logb x не определен при x ≤ 0
Логарифм числа 0	logb 0 не определен
Логарифм числа 1	logb 1 = 0, b > 0, b ≠ 0	log21 = 0
Логарифм числа, равного основанию	logb b = 1, b > 0, b ≠ 0	log22 = 1
Логарифм бесконечности	lim logb x = ∞, при x → ∞

microexcel.ru

Логарифмическая функция

Функция, которая определена формулой f(x)=log_a(x) – это логарифмическая функция с основанием a. При этом a>0, a≠1.

График функции логарифма

График логарифмической функции (логарифмика) может быть двух типов, в зависимости от значения основания a:

• a > 1
• 0 < a < 1