Производная функции: правила и формулы дифференцирования

546

В данной публикации мы рассмотрим правила и формулы дифференцирования производной функций, а также, разберем примеры для закрепления изученного материала.

Допустим, даны две функции f (x) и u (x), которые имеют производные в точке x. Тогда для них справедливы следующие формулы:

1. Константа в производной

(c ⋅ f(x)) = c ⋅ f(x), где c – константа

Т.е. константу можно вынести за знак производной.

Например: (5x3) = 5 ⋅ (x3)

2. Производная суммы/разности

(f(x) ± u(x)) = f(x) ± u(x)

Производная суммы/разности двух функций равняется сумме/разности, в которой слагаемыми выступают производные данных функций.

Например: (6x + x2) = (6x) + (x2)

3. Производная произведения

(f(x) ⋅ u(x)) = f(x) ⋅ u(x) + f(x) ⋅ u(x)

Производная произведения двух функций равняется сумме, в которой:

  • первое слагаемое – это произведение производной первой функции на вторую;
  • второе слагаемое – все наоборот.

Например: (ln x ⋅ x3) = (ln x) ⋅ x3 + ln x ⋅ (x3)

4. Производная частного

Производная деления одной функции на другую находится по следующей формуле:

Производная частного

Например:
Пример производного деления

5. Производная сложной функции

Допустим, производная функции y = y(f) находится в точке f0 = f(x0), а функции f = f(x) – в точке x0.

Производная сложной функции в таком случае равняется:

[y(f(x))] = y(f) ⋅ f(x)

  • множимое – это производная данной функции по промежуточному аргументу f;
  • множитель – производная промежуточного аргумента f по основному аргументу x.
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии