Число Эйлера (e)

Число e (или, как его еще называют, число Эйлера) – это основание натурального логарифма; математическая константа, являющаяся иррациональным числом.

e = 2.718281828459…

Способы определения числа e (формула):

1. Через предел:

Второй замечательный предел:

Альтернативный вариант (следует из формулы Муавра – Стирлинга):

2. Как сумма ряда:

Свойства числа e

1. Предел обратного числа e

2. Производные

Производной экспоненциальной функции является экспоненциальная функция:

(e ^x)′ = e^x

Производной натуральной логарифмической функции является обратная функция:

(log_e x)′ = (ln x)′ = 1/x

3. Интегралы

Неопределенным интегралом экспоненциальной функции e ^x является экспоненциальная функция e ^x.

∫ e^x dx = e^x+c

Неопределенный интеграл натуральной логарифмической функции log_e x:

∫ log_e x dx = ∫ lnx dx = x ln x – x + c

Определенный интеграл от 1 до e обратной функции 1/x равен 1:

Логарифмы с основанием e

Натуральный логарифм числа x определяется как базовый логарифм x с основанием e:

ln x = log_e x

Экспоненциальная функция

Это показательная функция, которая определяется следующим образом:

f (x) = exp(x) = e^x

Формула Эйлера

Комплексное число e ^iθ равняется:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

где i – мнимая единица (квадратный корень из -1), а θ – любое действительное число.